Σφαίρα Μπλοχ

Στην κβαντική μηχανική, η σφαίρα Μπλοχ είναι μια γεωμετρική αναπαράσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντομηχανικού συστήματος δύο επιπέδων που πήρε το όνομά της από τον φυσικό Φέλιξ Μπλοχ. Εναλλακτικά, είναι ο χώρος καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή 1 qubit. Η σφαίρα Μπλοχ είναι και γεωμετρικά μια σφαίρα και η αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων της σφαίρας και των καθαρών καταστάσεων μπορεί να δωθεί σαφώς. Σε γενικευμένη μορφή, η σφαίρα Μπλοχ μπορεί επίσης να αναφέρεται στο ανάλογο χώρο ενός κβαντικού συστήματος n επιπέδων.

Η κβαντική μηχανική είναι μαθηματικά διατυπωμένη σε ένα χώρο Χίλμπερτ ή προβαλλόμενο χώρο Χίλμπερτ. Ο χώρος των καθαρών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος δίνεται από τις ακτίνες στον χώρο Χίλμπερτ (τα σημεία του προβαλλόμενου χώρου Χίλμπερτ). Ο χώρος των ακτινών σε οποιοδήποτε διανυσματικό χώρο είναι ένας προβαλλόμενος χώρος, και συγκεκριμένα, ο χώρος των ακτινών σε ένα δυσδιάστατο χώρο Χίλμπερτ είναι η μιγαδική προβολική γραμμή, η οποία είναι ισομορφική προς τη σφαίρα.

Η φυσική μετρική στην σφαίρα Μπλοχ είναι η μετρική Fubini-Study.

To qubit

Για να δειχθεί αυτή η αντιστοιχία σαφώς, θεωρήστε την περιγραφή qubit της σφαίρας Μπλοχ˙ οποιοδήποτε κβαντομηχανική κατάσταση ψ μπορεί να γραφεί ως μια μιγαδική υπέρθεση των διανυσμάτων ket και ˙ επιπλέον, αφού οι παράγοντες φάσης δεν επηρεάζουν την φυσική κατάσταση, μπορούμε να πάρουμε την αναπαράσταση ώστε ο συντελεστής του να είναι πραγματικός και μη αρνητικός. Έτσι το ψ έχει μια αναπαράσταση ως

με

.

Εκτός από την περίπτωση όπου ψ είναι ένα από τα διανύσματα ket ή , η αναπαράσταση είναι μοναδική, με άλλα λόγια οι παράμετροι και προσδιορίζουν μοναδικά ένα σημείο στην μοναδιαία σφαίρα του Ευκλείδειου χώρου , δηλαδή το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες (x,y,z) είναι

Σε αυτή την αναπαράσταση το είναι χαρτογραφημένο μέσα στο (0,0,1) και το είναι χαρτογραφημένο μέσα στο (0,0, − 1).

Γενίκευση

Θεωρήστε ένα κβαντομηχανικό σύστημα n επιπέδων. Αυτό το σύστημα περιγράφεται από ένα n-διάστατο χώρο Χίλμπερτ Hn. Ο χώρος της καθαρής κατάστασης είναι εξ ορισμού το σύνολο των μονοδιάστατων ακτίνων του Hn.

Θεώρημα. Θέτουμε το U(n) να είναι η ομάδα Λι των μοναδιαίων πινάκων μεγέθους n. Τότε ο χώρος καθαρής κατάστασης του Hn μπορεί να αναγνωριστεί με το συμπαγή σύμπλοκο χώρο

Για να αποδείξουμε αυτό το γεγονός, σημειώνουμε ότι υπάρχει μια φυσική ομαδική πράξη του U(n) στο σύνολο των καταστάσεων του Hn. Αυτή η πράξη είναι συνεχής και μεταβατική στις καθαρές καταστάσεις. Για οποιαδήποτε κατάσταση ψ, το σύνολο σταθερών σημείων του ψ, (ορισμένο ως το σύνολο των στοιχείων g του U(n) τέτοια ώστε g ψ = ψ) είναι ισομορφικό προς την ομάδα γινομένων

Από αυτό το σημείο ο ισχυρισμός του θεωρήματος ακολουθεί βασικά αξιώματα για τις μεταβατικές πράξεις ομάδων σε συμπαγείς ομάδες.

Το σημαντικό γεγονός που πρέπει να σημειωθεί στα παραπάνω είναι ότι η μοναδιαία ομάδα δρα μεταβατικά σε καθαρές καταστάσεις.

Τώρα η (πραγματική) διάσταση του U(n) είναι n². Αυτό είνα εύκολο να το δούμε αφού ο εκθετικός χάρτης

είναι ένας τοπικός ομοιομορφισμός από το χώρο των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων στο U(n). Ο χώρος των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων έχει πραγματική διάσταση n².

Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης του Hn είναι 2n − 2.

Ουσιαστικά,

Ας εφαρμόσουμε αυτό για να εξετάσουμε την πραγματική διάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit. Ο αντίστοιχος χώρος Χίλμπερτ έχει διάσταση 2^m.

Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit είναι 2^m+1 − 2.

Η γεωμετρία των τελεστών πυκνότητας

Οι διατυπώσεις της κβαντικής μηχανικής με όρους καθαρών καταστάσεων είναι επαρκείς για απομονωμένα συστήματα˙ γενικά κβαντομηχανικά συστήματα πρέπει να περιγράφονται με όρους τελεστών πυκνότητας. Η τοπολογική περιγραφή περιπλέκεται από το γεγονός ότι η μοναδιαία ομάδα δεν ενεργεί μεταβατικά σε τελεστές πυκνότητας. Επιπλέον οι τροχιές παρουσιάζουν μεγάλη διαφοροποίηση, όπως προκύπτει από την ακόλουθη παρατήρηση:

Θεώρημα. Υποθέστε ότι A είναι ένα τελεστής πυκνότητας σε ένα κβαντομηχανικό σύστημα n επιπέδων του οποίου οι διακριτές ιδιοτιμές είναι μ₁, ..., μ_k με πολλαπλότητες n₁, ...,n_k. Τότε η ομάδα των μοναδιαίων τελεστών V ώστε V A V* = A είναι ισομορφική (ως μια ομάδα Λι) προς

Συγκεκριμένα η τροχιά του A είναι ισομορφική προς

.

Παραπομπές

* Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum Entanglement", Journal of Physics Conference Series, 39 (2006) σελ.9-16. (Αγγλικά)

* Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). (Ένα μικρό animation ενός διανύσματος Μπλοχ υποβαλλόμενο σε μια αντηχητική διέγερση.) (Αγγλικά)