Έστω K/L επέκταση σωμάτων. Ένα στοιχείο \( k \in K \) καλείται αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το L (algebraic element over L) αν είναι ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές από το L, δηλαδή \( a_nk^n+a_{n-1}k^{n-1}+...a_1k+a_0=0 \) όπου \( a_i \in L \) και τουλάχιστον ένα από αυτά είναι διάφορο του μηδενός.

Αν δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο, τότε το k καλείται υπερβατικό στοιχείο πάνω από το L (transcedental element over L).

Οι έννοιες του αλγεβρικού αριθμού και του υπερβατικού αριθμού είναι ειδικές περιπτώσεις των προαναφερθεισών εννοιών του αλγεβρικού και υπερβατικού στοιχείου πάνω από ένα σώμα L αντίστοιχα, όπου \( K=\mathbb{C} και L=\mathbb{Q} \) .

Παραδείγματα

Ο \( \sqrt{2} \) είναι αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το \( \mathbb{Q} \) καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου \( p(t)=t^2-2 \in \mathbb{Q}[t] \).

Η φανταστική μονάδα i είναι αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το \( \mathbb{Q} \) καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου \( p(t)=t^2+1 \in \mathbb{Q}[t] \).

Ο π είναι υπερβατικός αριθμός αλλά αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το \( \mathbb{R} \).

Scientific Library