Ανισότητα Μπερνούλι

Η ανισότητα Μπερνούλι (Bernoulli's inequality) είναι η ανισότητα: \( (1 + x)^r \geq 1 + rx\! \) για κάθε ακέραιο αριθμό r ≥ 0 και κάθε πραγματικό αριθμό x ≥ −1.

Η ανισότητα αυτή αποδεικνύεται μέσω της μαθηματικής επαγωγής.

Απόδειξη

Για = 0,

(1+x)^0 \ge 1+0x \,

ισοδυναμεί με 1 ≥ 1 που είναι σωστό.

Άς υποθέσουμε οτι είναι σωστό για r = k:

(1+x)^k \ge 1+kx. \,

Τότε ακολουθεί

\( \begin{align} & {} \qquad (1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx)\quad\text{(μέσω της υπόθεσης επειδή }(1+x)\ge 0) \\ & \iff (1+x)^{k+1} \ge 1+kx+x+kx^2, \\ & \iff (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x+kx^2. \end{align} \)

Όμως επειδή \( 1 + (k + 1)x + kx^2 ≥ 1 + (k + 1)x (since kx^2 ≥ 0) \) , ακολουθεί \( (1 + x)^{k+1} ≥ 1 + (k + 1)x \), που σημαίνει ότι είναι σωστό για r = k + 1 .

Δια επαγωγής σημαίνει οτι είναι σωστό για ολα r ≥ 0.

Πηγές