Σώμα (άλγεβρα)

Σώμα (από το γαλλικό Corps) είναι ένα σύνολο F (απο το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο F, οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

(a+b)+c=a+(b+c)
Υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F τέτοιο ώστε
a+0=a για κάθε a που ανήκει στο F, και
Για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0.
a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
(a*b)*c=a*(b*c)
Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
a*b=b*a
a*(b+c)=a*b+a*c

Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το \( \mathbb{Q} \) και το \( \mathbb{R} \) και το σώμα των μιγαδικών αριθμών \( \mathbb{C} \). Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με \( a^{-1} \) , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει \( a^{-1} \) τέτοιο ώστε \( a*a^{-1} =1 \).

Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής \( a+b*\sqrt{2} \)και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.

Ένας δακτύλιος (R,\circ,+) καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :

Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο \( 1_R \in R \) ώστε \( r\circ 1_R=1_R \circ r=r \) για κάθε \( r \in R \)
Για κάθε \( r \in R \)υπάρχει στοιχείο του R το οποίο συμβολίζουμε με \( r^{-1} \) τέτοιο ώστε \( r \circ r^{-1}=r^{-1} \circ r =1_R \)

Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \( \mathbb{R} \), καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια