Ιδεώδες (μαθηματικά)

Ορισμός

Έστω \( (\mathcal{R},+,\cdot) \) δακτύλιος και I ένα μη κενό υποσύνολο αυτου. Το I θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες)(Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως \( I \triangleleft \mathcal{R} \) αν ισχύουν τα εξής:

\( a-b \in I \) για κάθε \( a,b \in I \)

\( r\cdot a \in I \) και \( a\cdot r \in I \) , για κάθε \( r\in \mathcal{R},a \in I \)

Μεγιστικό ιδεώδες

Έστω \( (\mathcal{R},+,\cdot) \) δακτύλιος και \( M \ne \mathcal{R} \) ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε \( I \triangleleft R \) με \( M \subset I \subset \mathcal{R} \) έπεται ότι I=M ή \( I=\mathcal{R}. \)
Πρώτο Ιδεώδες

Έστω \( (\mathcal{R},+,\cdot) \) δακτύλιος και \( \mathcal{P} \ne \mathcal{R} \) ένα ιδεώδες του. Το \( \mathcal{P} \) θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

Αν \( a,b \in \mathcal{P} \) τότε είτε \( a \in \mathcal{P} \) είτε \( b \in \mathcal{P} \).

Παραδείγματα

Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο \( \{0_R\} \)

Έστω \( F:R \rightarrow S \) ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.

Το σύνολο \( \{ra;r \in R \} \) είναι ένα ιδεώδες του R που περιέχει το a.Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με <a>.

Έστω p ένας πρώτος αριθμός.Τότε το ιδεώδες <p> του \( \mathbb{Z} \) είναι πρώτο και μεγιστικό.