Μέτρο (Μαθηματικά)

Μέτρο (Measure) στα μαθηματικά ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση \( \mu:\Sigma\rightarrow[0, +\infty] \) ορισμένη σε μία Σ-άλγεβρα \( \Sigma \) με τις ακόλουθες ιδιότητες:

Αριθμήσιμη προσθετικότητα: Για κάθε αριθμήσιμη συλλογή \( \{E_i\}_{i\in I} \) ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων

\( \mu\Bigl(\bigcup_{i \in I} E_i\Bigr) = \sum_{i \in I} \mu(E_i). \)

Μηδενικό μέτρο στο κενό σύνολο:

\( \mu(\varnothing)=0. \)

Συγκεκριμένα ο παραπάνω ορισμός ορίζει ένα μη-αρνητικό μέτρο. Μέτρα με σύνολο τιμών το \( \mathbb{R} \) ή το \( \mathbb{C} \) εξετάζονται στην θεωρία ολοκλήρωσης.
Εξωτερικό μέτρο

Έστω ένα σύνολο X, και έστω \( \mathcal{P}(X) \)το δυναμοσύνολο του X. Εξωτερικό μέτρο ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση \( \mu:\mathcal{P}(X)\rightarrow[0, +\infty] \) με τις ακόλουθες ιδιότητες:

\( \mu(\varnothing) = 0. \)
Αν \( A\subseteq B\subseteq X \), τότε \( \mu(A)\leq\mu(B). \)
Αν \( \{A_n\} \) είναι μια ακολουθία υποσυνόλων του Χ, τότε \( \mu\Bigl(\bigcup_n A_n\Bigr) \leq \sum_n\mu(A_n). \)

Σ-περατότητα

Έστω \( (X, \Sigma, \mu) \) ένας μετρήσιμος χώρος, δηλαδή έστω Χ κάποιο σύνολο, Σ μια σ-άλγεβρα και μ ένα μέτρο ορισμένο σε αυτή. Ένα μέτρο είναι σ-περατό αν για κάθε \( E \in \Sigma \), υπάρχει ακολουθία ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων \( {A_n} με \bigcup_n A_n = E \) τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της ακολουθίας να έχει περατό μέτρο, δηλαδή \( \mu(A_i) < +\infty. \)