Στα μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση (Quadratic equation) ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

\( \alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0,\, \)

όπου τα γράμματα α, β και γ παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με

\( \alpha\ne 0 \, \)

Οι σταθερές α, β και γ ονομάζονται συντελεστές, με το α να είναι ο συντελεστής του x2, το β να είναι ο συντελεστής του x και γ ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.
Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου

Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση\( \alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0\quad \) στη μορφή \( (a x +b)^2=c \) ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί. Aρχικά εξετάζουμε τους όρους με \( x^2 \) και x και τους χωρίζουμε από τη σταθερά \( γ: \alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0\quad \iff\quad \alpha \left(x^2 +\frac{\beta}{\alpha} x\right)=-\gamma\qquad\qquad \) (1)

Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:

\( (1)\quad \iff\quad \alpha \left(x^2 +2\frac{\beta}{2\alpha}x+\frac{\beta^2}{4\alpha^2}-\frac{\beta^2}{4\alpha^2}\right)=-\gamma \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2-\,\alpha\left(\frac{\beta^2}{4\alpha^2}\right)=-\gamma\qquad\qquad (2) \)

και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος

\( (2)\quad \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\frac{\beta^2}{4\alpha}-\gamma \quad \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\frac{\beta^2-4\alpha\gamma}{4\alpha}\qquad\qquad (3) \)

Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο

\( (3)\quad \iff\quad (2\alpha)^2 \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\beta^2-4\alpha\gamma \quad \iff\quad \left(2\alpha x +\beta\right)^2=\beta^2-4\alpha\gamma\qquad\qquad (4) \)

Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα \( \Delta=\beta^2-4\alpha\gamma \). Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:

\( \left( 2\alpha x +\beta\right)^2=\Delta \)

Επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης), η διακρίνουσα (δεξί μέρος της εξίσωσης) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός, \( \Delta\geq 0 \), για να έχει η εξίσωση λύση στους πραγματικούς. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει:

\( 2\alpha x +\beta=\pm \sqrt{\Delta}\quad \iff\quad x=\frac{-\beta\pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \).

Οι τύποι του Βιετά

Οι τύποι του Βιετά (François Viète) δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

\( x_+ + x_- = -\frac{\beta}{\alpha} \) , και

\( x_+ \cdot x_- = \frac{\gamma}{\alpha} \)

Αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με P το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής:

\( x^2-Sx+P=0 \ \)

όπου

\( S = x_+ + x_- = -\frac{\beta}{\alpha} \) , και

\( P = x_+ \cdot x_- = \frac{\gamma}{\alpha} \)

Scientific Library