Στα μαθηματικά, μία τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση (Square-integrable function) είναι μία πραγματικά - ή κατά τμήματα - αποτιμημένη ως μετρήσιμη συνάρτηση για την οποία το ολοκλήρωμα του τετραγώνου της απόλυτης τιμής της είναι πεπερασμένος αριθμός. Έτσι αν,

\( \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx < \infty, \)

τότε η ƒ είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στην πραγματική γραμμή (−∞, ∞). Κάποιος μπορεί επίσης να μιλήσει για τετραγωνική ολοκλήρωση σε ορισμένα σύνολα όπως το [0, 1]. Οι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις διαμορφώνουν έναν χώρο εσωτερικού γινομένου του οποίου το εσωτερικό γινόμενο δίνεται από

\( \langle f, g \rangle = \int_A f(x) \overline{g(x)} \, dx \)

όπου,

g(x) είναι ο συζυγής μιγαδικός του g,
A είναι ένα σύνολο στο οποίο κάποιος ολοκληρώνει—στο πρώτο παράδειγμα πάνω, A είναι (−∞, ∞); στο δεύτερο, A είναι [0, 1].

Εφόσον |a|² = a a τετραγωνική ολοκληρωσιμότητα, είναι το ίδιο σαν να λέμε

\( \langle f, f \rangle < \infty. \, \)

Μπορεί να αποδειχθεί ότι οι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις αποτελούν έναν ολόκληρο μετρικό χώρο, τον Μπάναχ χώρο (Banach space). Αφού έχουμε επιπλέον την ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου, αυτός ο χώρος είναι συγκεκριμένα ένας χώρος Χίλμπερτ (Hilbert space). Αυτός ο χώρος εσωτερικού γινομένου συμβολίζεται συμβατικά  L². Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων είναι ο L^p χώρος όπου p = 2.

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Square-integrable function της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).

Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Scientific Library