Έστω \( V \, \) και \( W \, \) διανυσματικοί χώροι επί του σώματος \( F \,. \) Μια απεικόνιση

\( T:V \to W με T:u \in V \to w=T(u) \in W \)

ονομάζεται γραμμικός μετασχηματισμός (Linear map) όταν για κάθε \( u,w \in V \) και \( \alpha \in F \) ισχύουν οι σχέσεις

\( T(u+v)=T(u)+T(v) \, και T(\alpha)=\alpha T(u) \, \)

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας. Οι σχέσεις αυτές είναι ισοδύναμες με την σχέση

\( T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u) + \beta T(v) \, \)

για κάθε \( u,v \in V \) και \( \alpha ,\beta \in F \), η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός ορισμός της έννοιας του γραμμικού μετασχηματισμού. Η παραπάνω σχέση μπορεί να γενικευθεί για \( n \, \) διανύσματα

\( T(\alpha_1 u_1 +...+ \alpha_n u_n) = \alpha_1 T(u_1)+...+ \alpha_n T(u_n) \, \)

με \( u_1, u_2,..., u_n \in V \, \) και \( \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n \in F \, \)

Αν οι διανυσματικοί χώροι \( V \, \) και \( W \, \) ταυτίζονται, τότε ο μετασχηματισμός ονομάζεται γραμμικός τελεστής

Scientific Library